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Cohomologie

Modules gradués

Dans ce chapite, on reprend, dans un autre langage, la notion de de somme directe dans la catégorie des modules que l'on développe jusqu'au concept de complexe.


Soit k un anneau unitaire, pas nécessairement commutatif.


Rappelons qu'un module sur k, ou un k-module, a la même définition que celle d'un espace vectoriel à ceci près que l'anneau des scalaires k n'est pas supposé être un corps. Comme l'élément a_1 de l'équation linéaire a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n, n'est pas forcément inversible, il n'est pas toujours possible d'exprimer le terme x_1 en fonction des autres. En particulier, ce n'est pas parce qu'une famille de vecteurs est liée qu'on peut en extraire une famille génératrice. Un module ne possède donc pas forcément de base. Par contre, tout théorème ou toute propriété des espaces vectoriels qui ne fait pas appel à l'existence, explicite ou implicite, d'une base reste valable sur les modules; en particulier celle de somme directe.

Graduations sur un module

Une graduation sur un module E est une décomposition en somme directe X=\bigoplus _{i \in \mathbb{Z}} E_n de sous-modules indexés par \mathbb{Z}. On dit aussi que E est gradué par la famille \left( E \right)_{i \in \mathbb{Z}}.


Le sous-module E_i est appelé sous-espace homogène de degré i et ses éléments, élements homogènes de degré i. Par définition, tout élément x \in E s'écrit de manière unique comme somme x = \sum_i x_i d'éléments homogènes x_i \in E_i appelés ses composantes homogènes. Le degré de x \in E est degré de sa composante homogène non nulle de plus haut degré.


La décomposition en éléments homogènes défini une famille de projecteurs supplémentaires pr_i(x)=x_i, c'est-à-dire une famille d'applications linéaires pr_i:E \rightarrow E_i vérifiant pr_i^2=pr_i, pr_ipr_j=0 si i \not =j et \sum pr_i=Id_E.

Réciproquement, une famille de projecteurs vérifiant ces propriétés définit une graduation E=\bigoplus_i p_i(E).

Exemples

  1. Tout un module E est gradué par la graduation triviale, définie par E_0=E et E_i=0 pour i \not = 0.

  2. Soit E=\bigoplus _{i \in \mathbb{Z}} E_i un module gradué. Pour tout  i \in \mathbb{Z}, on pose E^i=E_{-i}, définissant ainsi une nouvelle graduation sur le module E. Elle est appelée graduation opposée et on note E^{\bullet}, le module E muni de cette nouvelle graduation.

  3. L'algèbre k[X] des polynômes à coefficients dans l'anneau k est un module gradué par le degré (habituel) des polynômes. Les éléments homogènes sont les monômes a_nX^n et la décomposition en composantes homogènes n'est autre que l'écriture f(X)=a_nX^n+\cdots + a_1X^1+a_0 d'un polynôme en somme de monômes.

    Le degré d'un polynôme est toujours positif. Un module gradué dont tous les sous-espaces homogènes de degré négatifs sont nuls, X_{-n}=0, est dit à degrés positifs.

  4. L'algèbre k(X) des fractions rationelles en une indéterminée, est graduée par le degré de la fraction \textstyle deg({f \over g}) = deg(f)-deg(g). Cet espace a des degrés négatifs aussi bien que positifs.

  5. L'algèbre k[X_1,X_2,\cdots ,X_p] des polynômes en plusieurs indéterminées à coefficients dans k peut être gradué de nombreuses manières.

    Elle est gradué par le degré partiel, défini comme le degré pour une indéterminée donnée, par exemple X_i. Ceci revient à la considérer comme l'algèbre A[X_i] des polnômes à coefficients dans l'algèbre A=k[X_1,\cdots, X_{i-1}, X_{i+1},\cdots ,X_p] des polynômes dont on a isolé l'indéterminé X_i.

    Lorsque la graduation n'est pas précisée, on considère généralement celle qui est définie par le degré total, somme des degrés partiels : deg\left(aX_1^{i_1}X_2^{j_2} \cdots X_p^{i_p}\right) = i_1+i_2+\cdots +i_p. Les éléments homogènes pour cette graduation, sont les polynômes homogènes
    \sum_{i_1+i_2+\cdots+i_p=n}a_{i_1,i_2,\cdots,i_p}X_1^{i_1}X_2^{i_2} \cdots X_p^{i_p},
    sommes de monômes de même degré total. On les reconnaît facilement, car ils peuvent être caractérisés par la relation
    f(\lambda X_1,\lambda X_2, \cdots, \lambda X_3)= \lambda^nf(X_1,X_2,\cdots,X_3),
    d'où le vocabulaire homogène.

    On remarquera que les sous-espaces homogènes de cette algèbre croissent rapidement, car dim\,E_n=p^n s'il y a p indéterminées.

Sous-modules gradués

Soit E=\bigoplus _{i \in \mathbb{Z}}E_i un module gradué, et F \subset E un sous-module de E. On dit que F un sous-module gradué de E, si les composantes homogènes y_i de tout élément y \in F sont dans F.

Pour cela, il suffit de vérifier que F est la somme F=\sum F_i de la famille des F_i = F \cap E_i. Cette somme est alors directe F=\bigoplus F \cap E_i. La graduation ainsi définie s'appelle graduation induite par E sur F.

Lorsqu'il en est ainsi, le module quotient E/F est gradué par les (E/F)_i = E_i/F_i = E_i/(F \cap E_i) \simeq (E_i+F)/F, appelée graduation quotient de E par F.

Exemples

  1. Le sous-module E_0 formé des éléments homogènes de degré 0 est un sous-module gradué de tout module gradué E.

    Comme, E_i/E_0 = 0, si i=0 et E_i/E_0 = E_i, si i \not= 0, le module gradué quotient s'identifie au module E/E_0 \simeq E^* = \bigoplus_{i \not = 0} E_e.

  2. Le sous-module E_{+}=\bigoplus_{i\ge 0}E_i (resp. E_{-}=\bigoplus_{i\le 0}E_i) engendré par les éléments homogènes de degrés positifs (resp. négatifs) est un sous-module gradué de tout module gradué E.

    Son quotient s'identifie au sous-module gradué E_{-}^*=\bigoplus_{i<0}E_i (resp. E_{+}^*=\bigoplus_{i<0}E_i) engendré par les éléments de degrés strictement négatifs (resp. strictement positifs).

    Notons encore la décomposition E=E_{+}^* \oplus E_{0} \oplus E_{-}^* en sous-espaces de degrés positifs, nul et négatifs.

  3. Considérons une algèbre k[X] de polynômes.Les multiples f \cdot k[X] d'un polynôme f=f(X) est un sous-module de k[X]. Mais les composants homogènes d'un multiple de f, c'est-à-dire les monômes dont il est composé, ne seront des multiples de f que si f est lui-même un mônome. En d'autres termes, f \cdot k[X] n'est un sous-module gradué de k[X] que si f=aX^p est un homogène. Dans ce cas, si a>/math> est inversible,<math>f \cdot k[X] s'identifie au sous-module X^p \cdot k[X] des polynômes de degré plus grand ou égal p et le quotient k[X]/f \cdot k[X] à celui des polynômes de degré strictement inférieur à p.

Nous allons voir que cette situation est très générale.

Homomorphismes gradués

Soient E=\bigoplus _{i \in \mathbb{Z}}E_i et F=\bigoplus _{i \in \mathbb{Z}}F_i deux modules gradués, et f:E \longrightarrow F une application linéaire. On dit que f est homogène de degré p (ou parfois simplement de degré p) si f\left(E_i\right) \subset F_{i+p}, pour tout indice i de la graduation.


Donner une telle application linéaire revient à donner la famille des restrictions f_i:E_i \longrightarrow F_{i+p}.


Dans ces conditions, Ker\,f_n=Ker\,f \cap E_i et Im\,f_n=Im\,f \cap F_{i+k}, donc le noyau Ker\,f et l'image Im\,f de f sont des sous-modules gradués de E et de F respectivement. De plus, les isomorphismes obtenus par passage au quotient \overline{f}_i:E_i/Ker\,f_i \longrightarrow Im\,f_i sont les composantes homogènes de leur somme \overline{f}=\sum_i \overline{f}_i qui apparaît comme un isomorphisme \overline{f}:E/Ker\,f \longrightarrow Im\,f homogène de même degré que f.


Il est clair que la somme de deux applications linéaires de degrés p est de degré p et que la composée d'une application linéaire de degré p avec une application linéaire de degré q est une application linéaire de degré p+q.


Notons alors D_p le sous-module de Hom(E,F) formé des applications linéaires homogènes de degré p de E dans F . La somme \sum_p D_p est directe. On la note Homgr(E,F)=\bigoplus_p D_p et ses éléments sont appelés applications linéaires graduées. Elle est munie d'une structure de module gradué dont les composantes homogènes sont précisément les applications linéaires homogènes. Lorsque E=F, on note Endgr(E)=Homgr(E,E) le module gradué des endomorphismes gradués de E.


On remarquera que la somme de deux applications homogènes de degrés différents n'est pas, en général, homogène. En particulier, l'ensemble des applications homogènes n'est pas un sous-module de Hom(E,F). Le plus petit sous-module qui les contienne est le sous-module engendré : Homgr(E,F).


En contrepartie de cette extention, le noyau Ker\,f, et l'image Im\,f d'une application linéaire gradué f ne seront des sous-modules gradués que si f est homogène.


En conséquence, la catégorie des modules gradués n'est une catégorie abélienne ni pour les homomorphismes gradués, ni les morphismes homomorphismes homogènes. Les morphismes pour lesquels la catégorie des modules gradués est abélienne sont les applications linéaires graduées de degré 0. Celles-ci forment le sous-module Homgr_0(E,F) dont la graduation est triviale. Nous n'aurons pas à en faire, ici, une étude séparée.


Exemples

  1. La projection pr_i:E \longrightarrow E est une applications linéaires graduées de degré 0. Son image est le sous-espace homogène Im\,pr_i=E_i et son noyau, le sous-espace Ker\,pr_i=\bigoplus_{j \not = i}E_j, de sorte que le quotient s'identife à E/Ker\,pr_i \simeq Im\,pr_i = E_i.

    L'isomorphisme qui identifie ces deux modules (gradués trivialement) n'est autre que l'application obtenue par passage au quotient \overline {pr_i}:E/Ker\,pr_i \longrightarrow E_i. Dans cette identification, pr_i = \sum ({pr_i})_j devient l'application dont les composantes homogènes sont ({pr_i})_i=(\overline {pr_i})_i=Id_{E_i} et ({pr_i})_j=(\overline {pr_i})_j=0 pour j \not = i.

    Ceci signife que pr_i:E \longrightarrow E est obtenu en prolongeant par 0 l'application identique de E_i. Comme Id_E = \sum_i pr_i on en déduit que les pr_i sont les composantes homogènes de l'identité.

  2. Pour tout scalaire \lambda \in k, l'homothétie f(x)=\lambda x est une application linéaire graduée de degré 0. Ceci permet d'identifer l'anneau des scalaire à un sous-module de k \subset Endgr_0(E) \subset Endgr(E).

  3. Plus généralement, pour toute famille \lambda_i \in k de scalaires, la formule f(x_i)=\lambda_i x_i (x_i \in E_i) défini une application linéaire graduée de degré 0 dont les composantes homogènes sont les homothéties de rapport \lambda_i sur E_i.

    C'est donc non seulement k qui est sous-module de Endgr_0(E) mais l'anneau k^\mathbb{Z}, chacun des éléments de la suite (\lambda _i) agissant sur l'"étage" E_i.

  4. Réciproquement, si f est un endomprphisme diagonalisable d'un module E, les sous-espaces propres E_i=\left\{x \in E | f(x)=\lambda_i x\right\} définissent une graduation E=\bigoplus E_i.

  5. En particulier, l'application degré d=deg=\sum i \cdot pr_i définie par d(\sum x_i) = \sum i \cdot x_i est linéaire, graduée de degré 0 et agit sur chaque sous-espace homogène homothétie d_i(x) = i \cdot x (x \in E_i) de rapport égal au degré du sous-espace. Cette application linéaire caractérise entièrement la graduation.

  6. On a déjà signalé que la mutiplication par un polynôme f(X) sur l'algèbre E=k[X] n'est une application linéaire graduée que si f(X)=aX^p est homogène. Dans ces conditions, la multiplication par f est homogène de degré p=deg(f).

    La dérivée d(f)=f' est un homomorphisme homogène de degré -1 dont les composantes homogènes sont définies par d(X^n)=nX^{n-1}. Si k est un corps de carractéristique nulle, son noyau, ensemble des polynômes dont la dérivée est nulle, est l'ensemble E_0=k des polynômes constants. Son image est l'algèbre k[X] elle même. Le fait que son quotient est un isomorphisme revient à dire que tout polynôme est la dérivée d'un poynôme, sa primitive, et que deux primitives d'un même polynôme diffèrent par une constante a_0 \in E_0=k.

Complexes

On appelle complexe de chaînes (resp. de co-chaînes) un module gradué E=\bigoplus E_i et d'un endomorphisme \partial de degré -1 (resp. +1) tel que \partial ^2=0.


En décomposant l'opérateur \partial d'un complexe de chaînes en composantes homogènes \partial = \sum \partial_i , on voit que donner un complexe revient à donner la suite nulle décroissante (une chaîne)


\cdots 
\longrightarrow E_{i+1} 
{\begin{matrix} \partial_{i+1} \\ \longrightarrow \\{} \end{matrix}} 
E_{i} 
{\begin{matrix} \partial_{i} \\ \longrightarrow \\{} \end{matrix}} 
E_{i-1} 
\longrightarrow 
\cdots

d'applications linéaires. Par suite nulle, on entend que la composée de deux de ces applications successives est nulle \partial_{i} \partial_{i+1} = 0.


En considérant la graduation opposée E^i=E_{-i}, l'opérateur \partial est alors de degré +1. Renommant \partial^i=\partial_{-i} ses composantes homogènes, on obtient la suite nulle croissante (une cochaîne)
\cdots \longrightarrow E^{i-1} {\begin{matrix} \partial^{i-1} \\ \longrightarrow \\{} \end{matrix}} E^{i} {\begin{matrix} \partial^{i} \\ \longrightarrow \\{} \end{matrix}} E^{i+1} \longrightarrow \cdots .


Chaque complexe de chaînes défini ainsi canoniquement un complexe de cochaînes et réciproquement.


La définition de sous-complexes et de complexe quotient se fait sans difficulté. Soit (E,\partial) un complexe (de chaîne ou de cochaîne). Un sous-complexe F de E est un sous-module gradué F \in E stable par \partial, c'est-à-dire tel que \partial(F) \in F. La restriction \partial|_F de \partial défini alors une structure de complexe sur F. En décomposant sur les composantes homogènes, on obtient une chaîne d'inclusions


\begin{matrix} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \end{matrix} 
\begin{matrix} \longrightarrow \\ {} \\ \longrightarrow \end{matrix}
\begin{matrix} F^{i-1} \\ \cap \\ E^{i-1} \end{matrix}
\begin{matrix} \longrightarrow \\ {} \\ \longrightarrow \end{matrix}
\begin{matrix} F^{i} \\ \cap \\ E^{i} \end{matrix}
\begin{matrix} \longrightarrow \\ {} \\ \longrightarrow \end{matrix}
\begin{matrix} F^{i+1} \\ \cap \\ E^{i+1} \end{matrix}
\begin{matrix} \longrightarrow \\ {} \\ \longrightarrow \end{matrix}
\begin{matrix} \cdots \\ \cdots \\ \cdots \end{matrix} 
.


Dans ces conditions, sur le module quotient E/F=\bigoplus E^i/F^i, l'opérateur déduit de \partial par passage au quotient défini une structure de complexe.


Soient (E,\partial) et (F,\partial') des complexes (de chaînes ou de cochaînes) et f:E \longrightarrow F une application linéaire homogène de degré 0. On dit que f est un morphisme de complexes s'il commute aux opérateurs \partial, c'est-à-dire si \partial' f = f \partial. Passant aux composantes homogènes, on voit que cela veut dire que le diagramme suivant est commutatif:


\begin{matrix} 
    & \begin{matrix}
        {}
        \\ \cdots 
        \\ {}
        \\ \cdots 
        \\ {}
      \end{matrix}

    & \begin{matrix}
        {}
        \\ \longrightarrow
        \\ {}
        \\ \longrightarrow
        \\ {}
      \end{matrix}

    & \begin{matrix}
        {}
        \\ E_{i+1}
        \\ {\downarrow f_{i+1} } 
        \\ F_{i+1}
        \\ {}
      \end{matrix}

    & \begin{matrix}
        \partial_{i+1}
        \\ \longrightarrow 
        \\ {}
        \\ \longrightarrow
        \\ \partial ' _{i+1}
      \end{matrix}

    & \begin{matrix}
        {}
        \\ E_{i}
        \\ {\downarrow f_{i} } 
        \\ F_{i}
        \\ {}
      \end{matrix}

    & \begin{matrix}
        \partial_{i}
        \\ \longrightarrow 
        \\ {}
        \\ \longrightarrow
        \\ \partial ' _{i}
      \end{matrix}

    & \begin{matrix}
        {}
        \\ E_{i-1}
        \\ {\downarrow f_{i-1} } 
        \\ F_{i-1}
        \\ {}
      \end{matrix}

 
    & \begin{matrix}
        {}
        \\ \longrightarrow
        \\ {}
        \\ \longrightarrow
        \\ {}
      \end{matrix}

    & \begin{matrix}
        {}
        \\ \cdots 
        \\ {}
        \\ \cdots 
        \\ {}
      \end{matrix}

\end{matrix}


Si f:E \longrightarrow F est un morphisme de complexes, alors Ker\,f et Im\,f sont des sous-complexes de E et F respectivement. Et l'application obtenue par passage au quotient défini un isomorphisme de complexes :


\begin{matrix} 
    & \begin{matrix}
        {}
        \\ \cdots 
        \\ {}
        \\ \cdots 
        \\ {}
      \end{matrix}

    & \begin{matrix}
        {}
        \\ \longrightarrow
        \\ {}
        \\ \longrightarrow
        \\ {}
      \end{matrix}

    & \begin{matrix}
        {}
        \\ E_{i+1}/Ker \,f_{i+1}
        \\ {\downarrow } 
        \\ Im \, f_{i+1}
        \\ {}
      \end{matrix}

    & \begin{matrix}
        \partial_{i+1}
        \\ \longrightarrow 
        \\ {}
        \\ \longrightarrow
        \\ \partial ' _{i+1}
      \end{matrix}

    & \begin{matrix}
        {}
        \\ E_{i}/Ker \,f_{i}
        \\ {\downarrow } 
        \\ Im \, f_{i}
        \\ {}
      \end{matrix}

    & \begin{matrix}
        \partial_{i}
        \\ \longrightarrow 
        \\ {}
        \\ \longrightarrow
        \\ \partial ' _{i}
      \end{matrix}

    & \begin{matrix}
        {}
        \\ E_{i-1}/Ker \,f_{i-1}
        \\ {\downarrow } 
        \\ Im \, f_{i-1}
        \\ {}
      \end{matrix}

 
    & \begin{matrix}
        {}
        \\ \longrightarrow
        \\ {}
        \\ \longrightarrow
        \\ {}
      \end{matrix}

    & \begin{matrix}
        {}
        \\ \cdots 
        \\ {}
        \\ \cdots 
        \\ {}
      \end{matrix}

\end{matrix}

La somme de deux morphismes de complexes est un morphisme de complexes, et l'ensemble Hom_K(E,F) des morphismes de complexes de E dans F forme un module (trivialement) gradué.


Exemples

  1. Pour A=\mathbb{Z}, on considère le module E=(\mathbb{Z}/8\mathbb{Z})^\mathbb{N}=\bigoplus_\mathbb{N} \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} constitué de répliques du groupe cyclique d'ordre 8.

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