Cohomlogie
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[edit] Modules gradués
Dans ce chapite, on reprend, dans un autre langage, la notion de de somme directe dans la catégorie des modules que l'on développe jusqu'au concept de complexe.
Soit 
un anneau unitaire, pas nécessairement commutatif.
Rappelons qu'un module sur , ou un -module, a la même définition que celle d'un espace vectoriel à ceci près que l'anneau des scalaires n'est pas supposé être un corps. Comme l'élément 
de l'équation linéaire 
, n'est pas forcément inversible, il n'est pas toujours possible d'exprimer le terme 
en fonction des autres. En particulier, ce n'est pas parce qu'une famille de vecteurs est liée qu'on peut en extraire une famille génératrice. Un module ne possède donc pas forcément de base. Par contre, tout théorème ou toute propriété des espaces vectoriels qui ne fait pas appel à l'existence, explicite ou implicite, d'une base reste valable sur les modules; en particulier celle de somme directe.
[edit] Graduations sur un module
Une graduation sur un module 
est une décomposition en somme directe 
de sous-modules indexés par 
. On dit aussi que est gradué par la famille 
.
Le sous-module 
est appelé sous-espace homogène de degré 
et ses éléments, élements homogènes de degré . Par définition, tout élément 
s'écrit de manière unique comme somme 
d'éléments homogènes 
appelés ses composantes homogènes. Le degré de est degré de sa composante homogène non nulle de plus haut degré.
La décomposition en éléments homogènes défini une famille de projecteurs supplémentaires 
, c'est-à-dire une famille d'applications linéaires 
vérifiant 
, 
si 
et 
.
Réciproquement, une famille de projecteurs vérifiant ces propriétés définit une graduation 
.
[edit] Exemples
- Tout un module est gradué par la graduation triviale, définie par
et 
pour 
.
- Soit
un module gradué. Pour tout 
, on pose 
, définissant ainsi une nouvelle graduation sur le module . Elle est appelée graduation opposée et on note 
, le module muni de cette nouvelle graduation.
- L'algèbre
des polynômes à coefficients dans l'anneau est un module gradué par le degré (habituel) des polynômes. Les éléments homogènes sont les monômes 
et la décomposition en composantes homogènes n'est autre que l'écriture 
d'un polynôme en somme de monômes.
Le degré d'un polynôme est toujours positif. Un module gradué dont tous les sous-espaces homogènes de degré négatifs sont nuls,
, est dit à degrés positifs.
- L'algèbre
des fractions rationelles en une indéterminée, est graduée par le degré de la fraction 
. Cet espace a des degrés négatifs aussi bien que positifs.
- L'algèbre
des polynômes en plusieurs indéterminées à coefficients dans peut être gradué de nombreuses manières.
Elle est gradué par le degré partiel, défini comme le degré pour une indéterminée donnée, par exemple
. Ceci revient à la considérer comme l'algèbre 
des polnômes à coefficients dans l'algèbre 
des polynômes dont on a isolé l'indéterminé .
Lorsque la graduation n'est pas précisée, on considère généralement celle qui est définie par le degré total, somme des degrés partiels :
. Les éléments homogènes pour cette graduation, sont les polynômes homogènes 
,
,
On remarquera que les sous-espaces homogènes de cette algèbre croissent rapidement, car
s'il y a 
indéterminées.
[edit] Sous-modules gradués
Soit 
un module gradué, et 
un sous-module de . On dit que 
un sous-module gradué de , si les composantes homogènes 
de tout élément 
sont dans .
Pour cela, il suffit de vérifier que est la somme 
de la famille des 
. Cette somme est alors directe 
. La graduation ainsi définie s'appelle graduation induite par sur .
Lorsqu'il en est ainsi, le module quotient 
est gradué par les 
, appelée graduation quotient de par .
[edit] Exemples
- Le sous-module
formé des éléments homogènes de degré 0 est un sous-module gradué de tout module gradué .
Comme,
, si 
et 
, si 
, le module gradué quotient s'identifie au module 
.
- Le sous-module
(resp. 
) engendré par les éléments homogènes de degrés positifs (resp. négatifs) est un sous-module gradué de tout module gradué .
Son quotient s'identifie au sous-module gradué WikiTeX: latex reported a failure, namely:This is pdfeTeX, Version 3.141592-1.21a-2.2 (Web2C 7.5.4)
This is pdfeTeX, Version 3.141592-1.21a-2.2 (Web2C 7.5.4)) engendré par les éléments de degrés strictement négatifs (resp. strictement positifs).entering extended mode (./f363aeae39e92ca0d3489e2c630da LaTeX2e <2003/12/01> Babel
and hyphenation patterns for american, french, german, ngerman, b ahasa, basque, bulgarian, catalan, croatian, czech, danish, dutch, esperanto, e stonian, finnish, greek, icelandic, irish, italian, latin, magyar, norsk, polis h, portuges, romanian, russian, serbian, slovak, slovene, spanish, swedish, tur kish, ukrainian, nohyphenation, loaded. (/usr/share/texmf/tex/latex/base/article.cls Document Class: article 2004/02/16 v1.4f Standard LaTeX document class (/usr/share/texmf/tex/latex/base/size10.clo)) (/usr/share/texmf/tex/latex/amsfonts/amssymb.sty (/usr/share/texmf/tex/latex/amsfonts/amsfonts.sty)) (/usr/share/texmf/tex/latex/amsmath/amsmath.sty For additional information on amsmath, use the `?' option. (/usr/share/texmf/tex/latex/amsmath/amstext.sty (/usr/share/texmf/tex/latex/amsmath/amsgen.sty)) (/usr/share/texmf/tex/latex/amsmath/amsbsy.sty) (/usr/share/texmf/tex/latex/amsmath/amsopn.sty)) (/usr/share/texmf/tex/latex/amsmath/amscd.sty) (/usr/share/texmf/tex/latex/concmath/concmath.sty) (./f363aeae39e92ca0d3489e2c630da.aux) (/usr/share/texmf/tex/latex/concmath/ot1ccr.fd) (/usr/share/texmf/tex/latex/concmath/omlccm.fd) (/usr/share/texmf/tex/latex/concmath/omsccsy.fd) (/usr/share/texmf/tex/latex/concmath/omxccex.fd) (/usr/share/texmf/tex/latex/amsfonts/umsa.fd) (/usr/share/texmf/tex/latex/amsfonts/umsb.fd) ! Missing } inserted. l.5 ...uation*}E_{+}^*=\bigoplus_{i\end{equation*}
[1] (./f363aeae39e92ca0d3489e2c630da.aux) ) (see the transcript file for additional information) Output written on f363aeae39e92ca0d3489e2c630da.dvi (1 page, 484 bytes).
Transcript written on f363aeae39e92ca0d3489e2c630da.log.
Notons encore la décomposition
en sous-espaces de degrés positifs, nul et négatifs.- Considérons une algèbre de polynômes.Les multiples
d'un polynôme 
est un sous-module de . Mais les composants homogènes d'un multiple de 
, c'est-à-dire les monômes dont il est composé, ne seront des multiples de que si est lui-même un mônome. En d'autres termes, n'est un sous-module gradué de que si 
est un homogène. Dans ce cas, si 
s'identifie au sous-module 
des polynômes de degré plus grand ou égal et le quotient 
à celui des polynômes de degré strictement inférieur à .
Nous allons voir que cette situation est très générale.
[edit] Homomorphismes gradués
Soient et 
deux modules gradués, et 
une application linéaire. On dit que est homogène de degré (ou parfois simplement de degré ) si 
, pour tout indice de la graduation.
Donner une telle application linéaire revient à donner la famille des restrictions 
.
Dans ces conditions, 
et 
, donc le noyau 
et l'image 
de sont des sous-modules gradués de et de respectivement. De plus, les isomorphismes obtenus par passage au quotient 
sont les composantes homogènes de leur somme 
qui apparaît comme un isomorphisme 
homogène de même degré que .
Il est clair que la somme de deux applications linéaires de degrés est de degré et que la composée d'une application linéaire de degré avec une application linéaire de degré 
est une application linéaire de degré 
.
Notons alors 
le sous-module de 
formé des applications linéaires homogènes de degré de dans . La somme 
est directe. On la note 
et ses éléments sont appelés applications linéaires graduées. Elle est munie d'une structure de module gradué dont les composantes homogènes sont précisément les applications linéaires homogènes. Lorsque 
, on note 
le module gradué des endomorphismes gradués de .
On remarquera que la somme de deux applications homogènes de degrés différents n'est pas, en général, homogène. En particulier, l'ensemble des applications homogènes n'est pas un sous-module de . Le plus petit sous-module qui les contienne est le sous-module engendré : 
.
En contrepartie de cette extention, le noyau , et l'image d'une application linéaire gradué ne seront des sous-modules gradués que si est homogène.
En conséquence, la catégorie des modules gradués n'est une catégorie abélienne ni pour les homomorphismes gradués, ni les morphismes homomorphismes homogènes. Les morphismes pour lesquels la catégorie des modules gradués est abélienne sont les applications linéaires graduées de degré 0. Celles-ci forment le sous-module 
dont la graduation est triviale. Nous n'aurons pas à en faire, ici, une étude séparée.
[edit] Exemples
- La projection
est une applications linéaires graduées de degré 
. Son image est le sous-espace homogène 
et son noyau, le sous-espace 
, de sorte que le quotient s'identife à 
.
L'isomorphisme qui identifie ces deux modules (gradués trivialement) n'est autre que l'application obtenue par passage au quotient
. Dans cette identification, 
devient l'application dont les composantes homogènes sont 
et 
pour 
.
Ceci signife que est obtenu en prolongeant par l'application identique de . Comme 
on en déduit que les 
sont les composantes homogènes de l'identité.
- Pour tout scalaire
, l'homothétie 
est une application linéaire graduée de degré 0. Ceci permet d'identifer l'anneau des scalaire à un sous-module de 
.
- Plus généralement, pour toute famille
de scalaires, la formule 
défini une application linéaire graduée de degré 0 dont les composantes homogènes sont les homothéties de rapport 
sur .
C'est donc non seulement qui est sous-module de 
mais l'anneau 
, chacun des éléments de la suite 
agissant sur l'"étage" .
- Réciproquement, si est un endomprphisme diagonalisable d'un module , les sous-espaces propres
définissent une graduation 
.
- En particulier, l'application degré
définie par 
est linéaire, graduée de degré et agit sur chaque sous-espace homogène homothétie 
de rapport égal au degré du sous-espace. Cette application linéaire caractérise entièrement la graduation.
- On a déjà signalé que la mutiplication par un polynôme
sur l'algèbre 
n'est une application linéaire graduée que si 
est homogène. Dans ces conditions, la multiplication par est homogène de degré 
.
La dérivée
est un homomorphisme homogène de degré 
dont les composantes homogènes sont définies par 
. Si est un corps de carractéristique nulle, son noyau, ensemble des polynômes dont la dérivée est nulle, est l'ensemble 
des polynômes constants. Son image est l'algèbre elle même. Le fait que son quotient est un isomorphisme revient à dire que tout polynôme est la dérivée d'un poynôme, sa primitive, et que deux primitives d'un même polynôme diffèrent par une constante 
.
[edit] Complexes
On appelle complexe de chaînes (resp. de co-chaînes) un module gradué et d'un endomorphisme 
de degré (resp. 
) tel que 
.
En décomposant l'opérateur d'un complexe de chaînes en composantes homogènes 
, on voit que donner un complexe revient à donner la suite nulle décroissante (une chaîne)
d'applications linéaires. Par suite nulle, on entend que la composée de deux de ces applications successives est nulle 
.
, l'opérateur 
est alors de degré . Renommant 
ses composantes homogènes, on obtient la suite nulle croissante (une cochaîne)
.
Chaque complexe de chaînes défini ainsi canoniquement un complexe de cochaînes et réciproquement.
La définition de sous-complexes et de complexe quotient se fait sans difficulté. Soit 
un complexe (de chaîne ou de cochaîne). Un sous-complexe de est un sous-module gradué 
stable par , c'est-à-dire tel que 
. La restriction 
de défini alors une structure de complexe sur . En décomposant sur les composantes homogènes, on obtient une chaîne d'inclusions
.
Dans ces conditions, sur le module quotient 
, l'opérateur déduit de par passage au quotient défini une structure de complexe.
Soient et 
des complexes (de chaînes ou de cochaînes) et une application linéaire homogène de degré . On dit que est un morphisme de complexes s'il commute aux opérateurs , c'est-à-dire si 
. Passant aux composantes homogènes, on voit que cela veut dire que le diagramme suivant est commutatif:
Si est un morphisme de complexes, alors et sont des sous-complexes de et respectivement. Et l'application obtenue par passage au quotient défini un isomorphisme de complexes :
La somme de deux morphismes de complexes est un morphisme de complexes, et l'ensemble 
des morphismes de complexes de dans forme un module (trivialement) gradué.
[edit] Exemples
- Pour
, on considère le module 
constitué de répliques du groupe cyclique d'ordre 8.
