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Nombre premier

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Un nombre premier est un nombre entier naturel qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. En d'autres termes, il n'est pas le produit de nombre plus petit que lui.

Autrement dit, c'est un nombre qui ne peut pas être partagé en parties égales, sauf en parties égales à 1. Par exemple 18 est égal à 6 + 6 + 6 ( ou 18 = 6 × 3), donc ce n'est pas un nombre premier. Par contre, il n'y a pas de nombres identiques qui, quand on les additionne, donnent 17. C'est un nombre premier.

Exemples

  • Historiquement, le nombre 1 a été longtemps considéré comme un entier naturel premier, mais il ne l'est plus au sens strict car il n'admet qu'un seul diviseur
  • 2 est un nombre premier car il n'est divisible que par 1 ( 2÷1 = 2 ) et par lui-même (2÷2 = 1)
  • 4 n'est pas un nombre premier car il admet 3 diviseurs : 1, 2 et 4.

Liste de nombres premiers

Il existe 25 nombres premiers inférieurs à 100 :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Il n'est pas possible de donner la liste complète des nombres premiers, car il y en a un nombre infini !

Quelques propriétés des nombres premiers

  • Plus les nombres premiers sont grands, plus ils sont rares.
  • Il existe une infinité de nombres premiers.
  • Deux nombres qui se suivent ne sont pas tous les deux premiers. Par exemple, 17 et 18 ne sont pas tous les deux premiers car 18 est pair (divisible par 2).
Seulement deux exceptions : 2 et 3.
  • Tout nombre premier est impair (sauf 2).
  • Le produit de deux nombres premiers n'est pas un nombre premier.
  • La somme de deux nombres premiers, sauf avec 2 comme terme, n'est pas un nombre premier.
  • Tout nombre non premier est le produit d'au moins 2 nombres premiers différents de lui-même et 1.
Par exemple : 98 = 2 × 7 × 7 , 99 = 3 × 3 × 11 , 100 = 2 × 2 × 5 × 5.
  • Il existe une seule manière de décomposer un nombre non premier en un produit de nombres premiers. Cette opération est la décomposition en facteurs premiers.

Démonstrations

Chaque propriété énoncée ci-dessous a été démontrée.

Tout nombre premier est impair (sauf 2) :

  • si un nombre est pair, il peut être divisé par 2 ;
  • donc un nombre pair n'est pas un nombre premier (sauf 2, puisque dans ce cas, il est divisé par lui-même).

Propriétés non démontrées des nombres premiers

Il existe des propriétés des nombres premiers qui n'ont pas été démontrées. Ce sont des conjectures. Par exemple, la conjecture de Goldbach :

Tout nombre pair (sauf 2) est la somme de deux nombres premiers.
Par exemple : 12=5+7 14=7+7 16= 5+11

La plupart des mathématiciens pensent que cette conjecture est vraie, mais personne n'est jamais parvenu à la démontrer. Il suffirait de trouver un seul contre-exemple pour prouver qu'elle est fausse.

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