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Numerik1:01

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01. Übung zur Vorlesung Numerik 1 (WS 2006/2007)

Aufgabe 1

Man forme das Anfangswertproblem

 y_{1}''=2 t^{2}-y_{1}'-y_{2}^{3}
 y_{2}''=t/2+y_{2}'+y_{1}^{2}
 y_{1}(0)=0,\,\,y_{2}(0)=1,\,\,\,y_{1}'(0)=1,\,\,\,y_{2}'(0)=0

in ein Anfangswertproblem für ein System erster Ordnung um.

Aufgabe 2

Zeigen Sie, dass die verbesserte Polygonzugmethode von Euler

y_{n+1} = y_n + h f\left(x_n + \frac{h}{2} , y_n + \frac{h}{2} f(x_n,y_n)\right)

für das Anfangswertproblem

y'(x) = f(x,y(x)) \,, \quad y(x_0) = y_0 \,,

ein Verfahren mit lokalem Diskretisierungsfehler der Ordnung 2 ist.

Aufgabe 3

Die Funktion f erfülle eine globale Lipschitz-Bedingung. Beweisen Sie, dass die Methode der sukzessiven Approximation für das implizite Eulerverfahren

(1) \quad y_{n+1}^0 = y_n + h f(x_{n}, y_{n})
(2) \quad y_{n+1}^{k+1} = y_n + h f(x_{n+1}, y_{n+1}^k) \,, \quad k=0,1,\ldots \,,

konvergiert. Welche zusätzlichen Voraussetzungen brauchen Sie für den Konvergenzbeweis?

Formulieren Sie das Verfahren als Einschrittverfahren für den speziellen Fall, dass nur eine Iteration der Methode verwendet wird, das heißt k=0 in (2).

Aufgabe 4

Formulieren Sie das Anfangswertproblem

y'(x) = f(x,y(x)) \,, \quad y(x_0) = y_0 \,,

als eine äquivalente Integralgleichung. Welche Quadraturformeln muss man verwenden, um das explizite und implizite Eulerverfahren zu bekommen?

Verwenden Sie die Trapezmethode für die Integralgleichung und schreiben Sie diese Methode als ein implizites Einschrittverfahren.

Welche Voraussetzungen muss die Funktion f erfüllen, damit die Integralgleichung lösbar ist? Finden Sie ein einfaches Beispiel, in dem die Integralgleichung lösbar ist, aber das Anfangswertproblem nicht.


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