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Numerik1:02

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02. Übung zur Vorlesung Numerik 1 (WS 2006/2007)

Aufgabe 1

Gegeben sei das folgende Anfangswertproblem zweiter Ordnung

 y''(x)=a y'(x) + b y(x) , \quad x \in [0,1] ,
 y(0)=y_{0} , \quad y'(0)=d

mit

a, b, y_{0} , d \in \mathbb{R}.

a) Man forme dies zu einem äquivalenten System erster Ordnung um. Man formuliere das Heun-Verfahren für dieses System.

b) Wir möchten nun eine numerische Lösung für das Randwertproblem

 y''(x)=a y'(x) + b y(x) , \quad x \in [0,1] ,
 y(0)=y_{0} , \quad  y(1)= y_{1}  , \quad y_1 \in \mathbb{R}

konstruieren. Hierzu wähle man in a) d als freien Parameter und betrachte

 F(d)= y_{d}(1)-y_{1},

wobei y_{d}(1) den Wert der numerischen Lösung mit dem Heun-Verfahren zu vorgegebenem d an der Stelle 1 bezeichnet. Man formuliere ein Iterationsverfahren, durch das man ein d mit

F(d)=0

erhält. Man bestimme die Anzahl der Iterationsschritte, die man dafür benötigt. Ein solches Vorgehen bezeichnet man als Schießverfahren.

Aufgabe 2.

Wenden Sie die Richardson-Extrapolation auf die verbesserte Polygonzug-Methode von Euler an und konstruieren Sie so ein neues Verfahren.

Aufgabe 3.

Ein zweistufiges explizites Runge-Kutta-Verfahren enthält 4 freie Parameter. Es ist konsistent mit der Ordnung 2, falls 3 nichtlineare Gleichungen für diese 4 Parameter erfüllt sind. Wieviele verschiedene explizite Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung gibt es? Wenn mehrere - welches davon ist ein optimales Verfahren in dem Sinn, dass möglichst viele Glieder in der Taylor-Reihe für den lokalen Diskretisierungsfehler verschwinden?

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