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Numerik1:04

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04. Übung zur Vorlesung Numerik 1 (WS 2006/2007)

Aufgabe 1

Finden Sie die exakte Lösung u(x,t) des Anfangswertproblems

 \partial_{t} u(x,t) +a \partial_{x} u(x,t)=0 \,\,,\,\,t>0\,\,,

u(x,0)=u_{0},

wobei a eine reelle Zahl ist. Bestimmen Sie den Typ der Differentialgleichung.

Aufgabe 2

Sei \Omega=(0,1)\times (0,1) und \Gamma=\partial \Omega .

Zeigen Sie: Angenommen, die Randwertaufgabe

 \Delta u(x,y) = 0 \,\,,\,\,(x,y) \in \Omega \,\,,

 u(x,y)=x^{2}\,\,,\,\,(x,y) \in \Gamma

besitzt eine Lösung u, so liegt u nicht in C^{2}(\overline{\Omega}).

Aufgabe 3

Finden Sie eine stetige, nicht konstante Funktion, welche die partielle Differentialgleichung

r \partial_{t} u(x,t) + d \partial_{xx} u(x,t) = 0 \,\,,\,\,x \in (0,L)\,\,,\,\,t>0

mit Randbedingungen

 u(0,t)=u(L,t)=g \,\,,\,\,t>0

erfüllt. Die Parameter r, d, L und g sind hierbei reelle Konstanten.


Abgabe: 17.11.2006

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