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Numerik1:06

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06. Übung zur Vorlesung Numerik 1 (WS 2006/2007)

Aufgabe 1

Transformieren Sie die Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen auf dem Einheitskreis

 -\Delta u(x, y) = f(x, y) \,\,,\,\, (x, y) \in \Omega := \left\{ (x, y)\, :\, x^{2} + y^{2} < 1 \right\}
 u(x, y) = \varphi (x, y)\,,\, (x, y) \in \partial \Omega

in die Polarkoordinaten

 x = x(r, \theta) = r cos\, \theta\,\,,\,\, y = y(r,\theta ) = r sin\, \theta.

Formulieren Sie ein Finite-Differenzen-Verfahren für die Differentialgleichung in Polarkoordinaten.

Aufgabe 2

Zeigen Sie, dass die Funktion (in Polarkoordinaten)

 u(r,\theta)=r^{\frac{2}{3}} \sin \frac{2 \theta - \pi }{3}

das Randwertproblem

 \Delta u=0 \,\,\,\,\,\, \text{in}\,\,\,\,\,\, \Omega:= (-0.5, 0.5) \times (-0.5, 0.5) \, \backslash \, [\,0, 0.5) \times [\,0, 0.5)
 u = r^{\frac{2}{3}} \sin \frac{2 \theta - \pi }{3} \,\,\,\,\,\,\text{auf}\,\,\,\,\,\, \partial \Omega

erfüllt, aber dass u \not\in C^{1}(\overline{\Omega}) gilt.

Aufgabe 3

Die zweidimensionale Poisson-Gleichung

 -\Delta u = f

werde mit einem Differenzenschema approximiert, dass sich mit Hilfe der Differenzenstern-Schreibweise folgendermaßen darstellen lässt:

  \frac{1}{6 h^{2} } \left[ \begin{array}{ccc} -1 & -4 & -1 \\ -4 & 20 & -4 \\ -1 & -4 & -1  \end{array} \right]  = 
\frac{1}{12}  \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 8 & 1 \\ 0 & 1 & 0  \end{array} \right] f.

Die Approximation des Laplace-Operators auf der linken Seite sei mit \Delta^{(9)}_{h}u , die Approximation von f auf der rechten Seite mit  f_{h} bezeichnet. Bestimmen Sie die Ordnung des lokalen Diskretisierungsfehlers

 \tau_{h}=\Delta^{(9)}_{h}u - f_{h}

dieses Verfahrens. Hinweis: Wegen der Differentialgleichung gilt

 - \Delta^{2} u =  \Delta f.


Abgabe: 1.12.2006

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