Fandom

Scratchpad

Numerik1:Einführung

215,870pages on
this wiki
Add New Page
Discuss this page0 Share

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Zurück

Einführung

System gewöhnlicher Differenzialgleichungen


(1) \quad y_i'(x) = f_i(x,y_1(x),\ldots,y_i(x),\ldots,y_n(x)) \,, \,,
\quad i=1,\ldots,d \,.

Beschreibung

  • x ist die unabhängige Variable
  • y_i sind die unbekannten Funktionen von einer Variablen
  • f_i \quad sind die gegebenen Funktionen von mehreren Variablen

Eigenschaften

  • System (1) heißt explizit.
  • Ein Beispiel einer impliziten ODE:
f(x,y(x),y'(x)) = 0 \,.

Beispiele und Anwendungen

  • d=1
y'(x) = f(x,y(x))
  • Trajektorien:
(x_1(t),x_2(t)) \subset R^2 \,, \quad t \in (0,T)\,, \quad
\dot x = \vec{v}(t,x) \,.
oder
(x(t),y(t)) \subset R^2 \,, \quad t \in (0,T)\,, \quad
(\dot x(t),\dot y(t)) = (1,f(x(t),y(t))) \,.
  • Chemische Reaktionen, Populationsdynamik, ..., z.B. Zerfall:
\dot u = \lambda u \,, \quad \lambda \in R
  • Diskretisierung der partiellen Differenzialgleichungen;
u_i'(t) = \frac{u_{i+1}(t) - 2 u_i(t) + u_{i-1}(t)}{h^2} \,, \quad h \in R \,.
  • Jedes explizite System von Differenzialgleichungen m-ter Ordnung läßt sich in ein äquivalentes System 1. Ordnung umformen - siehe Lemma 8.1 [ Köckler ]

Maple Beispiele

Skalare Gleichung

DEplot( 
       diff(y(x),x) = -2*x*y(x)*y(x), 
       y(x), x=0..0.6, 
       [ [y(0)=1] ])

Ode

Trajektorien für Lotka-Volterra-Model

DEplot([
        diff(R(t),t) = R(t)*(1-B(t)), 
        diff(B(t),t) = 0.3*B(t)*(R(t)-1)
       ], 
        [R(t),B(t)], t=-7..7, 
        [[R(0)=1.2,B(0)=1.2], [R(0)=1,B(0)=.7]])


Lotka-volterra

Zurück

Also on Fandom

Random wikia