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Numerik1:Einführung

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Einführung

System gewöhnlicher Differenzialgleichungen


(1) \quad y_i'(x) = f_i(x,y_1(x),\ldots,y_i(x),\ldots,y_n(x)) \,, \,,
\quad i=1,\ldots,d \,.

Beschreibung

  • x ist die unabhängige Variable
  • y_i sind die unbekannten Funktionen von einer Variablen
  • f_i \quad sind die gegebenen Funktionen von mehreren Variablen

Eigenschaften

  • System (1) heißt explizit.
  • Ein Beispiel einer impliziten ODE:
f(x,y(x),y'(x)) = 0 \,.

Beispiele und Anwendungen

  • d=1
y'(x) = f(x,y(x))
  • Trajektorien:
(x_1(t),x_2(t)) \subset R^2 \,, \quad t \in (0,T)\,, \quad
\dot x = \vec{v}(t,x) \,.
oder
(x(t),y(t)) \subset R^2 \,, \quad t \in (0,T)\,, \quad
(\dot x(t),\dot y(t)) = (1,f(x(t),y(t))) \,.
  • Chemische Reaktionen, Populationsdynamik, ..., z.B. Zerfall:
\dot u = \lambda u \,, \quad \lambda \in R
  • Diskretisierung der partiellen Differenzialgleichungen;
u_i'(t) = \frac{u_{i+1}(t) - 2 u_i(t) + u_{i-1}(t)}{h^2} \,, \quad h \in R \,.
  • Jedes explizite System von Differenzialgleichungen m-ter Ordnung läßt sich in ein äquivalentes System 1. Ordnung umformen - siehe Lemma 8.1 [ Köckler ]

Maple Beispiele

Skalare Gleichung

DEplot( 
       diff(y(x),x) = -2*x*y(x)*y(x), 
       y(x), x=0..0.6, 
       [ [y(0)=1] ])

Ode

Trajektorien für Lotka-Volterra-Model

DEplot([
        diff(R(t),t) = R(t)*(1-B(t)), 
        diff(B(t),t) = 0.3*B(t)*(R(t)-1)
       ], 
        [R(t),B(t)], t=-7..7, 
        [[R(0)=1.2,B(0)=1.2], [R(0)=1,B(0)=.7]])


Lotka-volterra

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