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Numerik1:Einschrittverfahren

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Einschrittverfahren

Wiederholung

Definition: Anfangswertproblem - die Suche nach einer Funktion

y : [0,L] \subset \mathbb{R} -> \mathbb{R}^d \,,

die folgendes System gewöhnlicher Differentialgleichungen


(1) \quad y'(x) = f(x,y_1(x),\ldots,y_i(x),\ldots,y_d(x)) \,,

und die folgende Anfangsbedingung erfüllt:

(2) \quad y(0) = y_0 \,, \quad y_0 \in \mathbb{R}^d \,.

Einschrittverfahren

Definition: Einschrittverfahren (EVS) - ein Verfahren, das einen diskreten Näherungswert

y_h(x+h)

für die exakte kontinuierliche Lösung

y(x+h)

gemäß folgender Vorschrift

y_h(x+h) = y_h(x) + h f_h(x,y_h(x),x+h,y_h(x+h))

und

y_h(0) = y_0

erzeugt.

Die Funktion

f_h(x,y_h(x),x+h,y_h(x+h))

heißt Verfahrensfunktion.

Diskussion:

  • Wann heißt das ESV explizit und wann implizit?
  • Was sind die Nachteile von einem impliziten Verfahren?

Diskretisierungsfehler

Definition: Lokaler Diskretisierungsfehler (oder Konsistenzfehler) des Verfahren - die Größe

\tau_h = \tau_h(x,y,f_h) := \frac{y(x+h) - y(x)}{h} - f_h(x,y(x),x+h,y(x+h)) \,,

Definition: Verfahren der Ordnung p - falls gilt:

\tau_h(x,y) =  \mathcal{O}(h^p) \,.

Beispiel: Das explizite Eulerverfahren ist von Ordnung 1.

Beweis:

|\tau_h(x,y,f_h)| \le C h \,, \quad C := \max \limits_{s \in [0,L]} \frac{1}{2} y''(s) \,.

Diskusion:

  • Unter welchen Voraussetzungen ist der vorherige Beweis richtig?

Definition: Globaler Diskretisierungsfehler des Verfahren - die Differenz zwischen der numerischen und exakten Lösung.

Beispiele:

  • y_h(L) - y(L) \,,

  • \max \limits_{n=1,\ldots,N} |y_h(x_n) - y(x_n)| \,,

  • \sum \limits_{n=0}^{N-1} \int \limits_{x_n}^{x_{n+1}} |y(x) - y_h(x_n) - \frac{x-x_n}{h_n} (y_h(x_{n+1}) - y_h(x_n))| \, dx

Konvergenz

Definition: Konsistentes Verfahren - falls gilt:

 \lim \limits_{h -> 0} \tau_h = 0 \,.

Beispiel: Das Einschrittverfahren ist konsistent falls

f_0(x,y(x),x,y(x)) = f(x,y) \,.

Definition: Konvergentes Verfahren - falls der globale Diskretisierungsfehler gegen 0 konvergiert.

Konvergenzsatz

Satz: Sei die Funktion f Lipschitz-stetig. Das explizite Eulerverfahren ist konvergent und der globale Diskretisierungsfehler ist von der Ordnung 1.

Beweis

Vereinfachungen:

f : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \,, \quad x \in [0,1] \,.

Lispschitz-stetigkeit:

|f(x,y_1) - f(x,y_2)| \le L |u_1 - u_2| \,, \forall x \in [0,1] \,.

Lokaler Fehler:

d_n := y_h(x_n) - y(x_n) \,, \quad n=0,1,\ldots,N \,, \quad x_n:= 1/n \,.

Es gilt:

|\tau_h| \le C_1 h \quad \Rightarrow \quad |d_n| \le C_1 h^2 \,.

Es folgt:

d_{n+1} = y(x_{n+1}) - y_h(x_{n+1}) = y(x_{n+1}) - y_h(x_{n}) - h f(x_{n},y_h(x_{n})) =
 = y(x_{n+1}) - y(x_{n}) - h f(x_{n},y(x_{n})) + y(x_{n}) - y_h(x_{n}) - h f(x_{n},y_h(x_{n})) + h f(x_{n},y(x_{n})) =
 = h \left( \frac{y(x_{n+1}) - y(x_{n})}{h} - f(x_{n},y(x_n))\right) + h f(x_n,y(x_n)) - h f(x_n,y_h(x_n)) + d_{n}

und

|d_{n+1}| \le C h^2 + (h L + 1) |d_n| \,.

Weiter

|d_{n+1}| \le C h^2 + (1 + h L) \left(C h^2 + (1+ h L) |d_{n-1}| \right) \,,

und

|d_{n+1}| \le (1 + (1 + h L) + \ldots + (1 + h L)^{n}) C h^2 + (1 + h L)^{n+1} |d_0| = C h^2 \sum \limits_{j=0}^{j=n} (1 + h L)^n \,.

Die Berechnung der Partialsumme der geometrischen Reihe:

|d_{n+1}| \le \left(\frac{(1+h L)^{n+1} - 1}{h L}\right) C h^2 \,.

Weil

(1 + t) < \exp(t) \quad \Rightarrow \quad (1 + t)^n < \exp(n t)

es folgt

|d_{n+1}| \le \left(\frac{\exp((n+1) h L) - 1}{L}\right) C h 
 \le \left(\frac{\exp(L) - 1}{L}\right) C h\,.


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