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Projekt Studienleitfaden für Mathematik-Masters in Österreich/KFU Graz

< Projekt Studienleitfaden für Mathematik-Masters in Österreich

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Uni Graz

Die Karl-Franzens Uni Graz wurde 1585 von Erzherzog Karl II von Innerösterreich gegründet. Sie wurde 1827 von Kaiser Franz I. wiedererrichtet. 1999 erreichte die Universität mit 32.000 Studierenden ihren Höchststand. Im laufe der Geschichte waren zahlreiche NobelpreisträgerInnen an der Karl-Franzens-Universität in der Forschung tätig. Heute - nach Abspaltung der Med-Uni Graz - ist die Universität mit etwa 21.000 Studierenden die größte Universität in Graz und die drittgrößte Österreichs. Insgesamt gibt es an der Uni Graz sechs Fakultäten, das Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen ist an der Naturwissenschaftlichen Fakultät untergebracht.

Über die Stadt

Graz ist mit etwa 252.000 mit Hauptwohnsitz gemeldeten Einwohnern die zweit größte Stadt Österreichs. Gemessen an der Studierendenzahl kann sie durchaus als Studierendenstadt bezeichnet werden. Parkanlagen und die zahlreichen Lokale in Uninähe machen das Univiertel sowohl im Sommer als auch im Winter zu einem angenehmen Wohn und Lebensraum. Mathe studieren kann man an der KF Uni Graz und an der TU Graz.

Das Institut und Forschungsschwerpunkte

Das Mathematikinstitut ist seit 1821 an der Universität vertreten und wurde 1991 in einem neuerbauten Gebäude untergebracht, da es an vier Standorten verteilt war. Mit etwa 450 Studierenden ist zählt das Institut zu den eher kleineren an der Universität.

Masterstudien im Überblick

1. Allgemeine Mathematik
2. Numerische Mathematik und Modellierung (NuM²)
3. Mathematische Computerwissenschaften

Schwerpunkte:

Statistik

Inskripierte Studierende: 466 (Stand: 07W)
Inskripierte Studierende pro Master: Bis jetzt keine (starten offiziell erst im Wintersemester 09/10)

Kontakt:

IG – Mathematik
Adresse: Schubertstraße 6a, 8020 Graz
E-Mail: stv-mathematik@oehweb.uni-graz.at
Telefon: 0316 / 380 – 2930 (oder 2931)
Fax: 0316 / 380 – 9200

Allgemeine Mathematik

Kurzbeschreibung, Voraussetzung, Grundstruktur

Das Studienangebot im Masterstudium Allgemeine Mathematik an der Karl-Franzens-Universität Graz soll Studierenden Kenntnisse und Fähigkeiten im Bereich Mathematik und in verwandten Gebieten vermitteln, die eine geeignete Berufsvorbereitung für den Beruf einer Mathematikerin / eines Mathe-matikers in derWirtschaft und eine Basis für eine wissenschaftlich orientierte Tätigkeit in der anwen-dungsorientierten und akademischen Forschung darstellt. Zu den dafür erforderlichen Fähigkeiten und Kenntnissen zählen unter anderem: Sicherer Umgang mit der mathematischen Sprache. Erkennen und Verarbeiten komple-xer Strukturen. Die Fähigkeit zur exakten Argumentation und zum Durchdringen komplexer Sachverhalte soll durch das Studium trainiert werden. Problemlösungsfähigkeit. Der kreative und effiziente Umgang mit Problemlösungsstrategien soll durch das Studium vermittelt werden. Zur konkreten Berufsvorbereitung durch das Studium gehören das Training in der Präsentation komplexer Inhalte und in der eigenständigen Projektbearbeitung, die Verbesserung der Kommunikationsfähigkeit mit Kolleginnen / Kollegen außerhalb des Faches, die effiziente Verwendung von Fachliteratur und der effektive Computereinsatz.

Da dieses Masterstudium sehr aufbauend ist, werden folgende Kenntnisse und die entsprechende Beherrschung dieser notwendigerweise Vorausgesetzt (laut Curriculum): • Differenzial- und Integralrechnung in einer und mehreren Veränderlichen, • Lineare Gleichungssysteme und lineare Abbildungen • Analytische Geometrie und Vektorrechnung • Algebraische Strukturen • Grundlagen der Funktionalanalysis • Numerische Methoden und Optimierung • Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik • Differenzialgleichungen • Komplexe Analysis Leider fehlen uns noch Rückmeldungen von Studierenden, da die ersten BachelorabsolventInnen an unserem Institut für das Sommersemester 2009 zu erwarten sind.

Das Masterstudium Allgemeine Mathematik besteht aus 8 Modulen und insgesamt 120 ECTS.

a) Topologie 4 b) Analysis und Geometrie 18 c) Algebra und Zahlentheorie 18 d) Numerische Mathematik und Optimierung 9 e) Computer Science 3 f) Mathematische Vertiefung I 9 g) Mathematische Vertiefung II 12 h) Seminare 8

Bei Modulen die Wahlmöglichkeiten beinhalten müssen Lehrveranstaltungen / Lehrveranstaltungsblöcke gewählt werden, die in Summe die für das Modul benötigten ECTS ergeben.

Beschreibung der Module/Lehrveranstaltungen/Lehrveranstaltungsblöcke

Topologie

Das Modul „Topologie“: Es hat topologische Konzepte und Prinzipien zum Gegenstand. Die einzelnen Lehrveranstaltungen des Moduls haben folgende Themen zum Inhalt: Topologie, VO (4 ECTS) Topologische Räume (Kompaktheit, Zusammenhang, stetige Abbildungen); Trennungsaxiome; Fortsetzungssätze; uniforme Strukturen und Metrisierbarkeit. Das Modul „Topologie“ ist eine theoretische Grundlage für eine Vertiefung des Studiums mit den Schwerpunkten Algebra beziehungsweise Analysis.

Analysis und Geometrie

Das Modul „Analysis und Geometrie“: Es hat eine Einführung in die moderne Theorie partieller Differenzialgleichungen, Elemente der Differenzialgeometrie und ausgewählte Kapitel der Funktionentheorie und der Theorie der Riemann’schen Flächen zum Inhalt. Die einzelnen Lehrveranstaltungen des Moduls haben folgende Themen zum Inhalt:

Partielle Differenzialgleichungen

Partielle Differenzialgleichungen, VO und PS (6 + 3 ECTS) Energiemethoden; Charakteristiken; schwache Formulierung elliptischer Gleichungen; Randbedingungen; innere und Randregularität; lineare Evolutionsgleichungen; Erhaltungsgesetze. oder Funktionalanalysis, VO (4,5 ECTS) Distributionen; Sobolev Räume und deren Dualräume; Einbettungssätze; Spurensätze; Sesquilinearformen und durch diese definierte Operatoren; Satz von Lax-Milgram; Aspekte der nichtlinearen Funktionalanalysis. oder Differenzialgeometrie, VO (4,5 ECTS) Differenzierbare und Riemannsche Mannigfaltigkeiten; Differenzialformen und deren Integration; Geometrie der Flächen im R3 oder Komplexe Analysis, VO und PS (6 + 3 ECTS) Elliptische Funktionen; Modulfunktionen und Modulformen; Riemann’sche Flächen.

Algebra und Zahlentheorie

Das Modul „Algebra und Zahlentheorie“: Es hat die Kommutative Algebra und ausgewählte Kapitel der Höheren Zahlentheorie (Primzahltheorie und Theorie algebraischer Zahlkörper) zum Gegenstand. Die einzelnen Lehrveranstaltungen des Moduls haben folgende Themen zum Inhalt:

Algebra II, VO und PS (6+ 3 ECTS) Basistechniken der Kommutativen Algebra (Isomorphiesätze, Lokalisierung, exakte Sequenzen); Idealtheorie und multiplikative Arithmetik kommutativer Ringe; Kategorien und Funktoren; Modultheorie. und Zahlentheorie, VO und PS (6 + 3 ECTS) Primzahlsatz; Arithmetik algebraischer Zahlkörper.

Numerische Mathematik

Das Modul „Numerische Mathematik und Optimierung“: Es hat die Erweiterung der numerischen Kenntnisse im Hinblick auf die Lösung von Differenzialgleichungen, sowie die Theorie und Numerik der restringierten Optimierung zum Gegenstand. Numerische Mathematik II, VO und PS (6 + 3 ECTS) Anfangswertprobleme für gewöhnliche Differenzialgleichungen; Randwertprobleme; Diskretisierungsverfahren; oder

Optimierung II, VO und PS (6 + 3 ECTS) Theorie der linearen Optimierung; Innere-Punkt-Methode; Tangentialkegel, Kegel der Abstiegsrichtungen und Regularitätsbedingungen; Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen; Quadratische Optimie-rung, Aktivemengen-Strategie; Allgemeine Optimierungsprobleme; Straf- und Barrieremethoden; Quasi-Newtonverfahren; Multiplikatormethode; Ausblicke auf NLP Methoden in der optimalen Steuerung von Differenzialgleichungen.

Computer Science

Das Modul „Computer Science“: Es hat die Vertiefung der im Bachelorstudium erworbenen Programmierkenntnisse in Richtung moderner Programmiersprachen und Computerhardware zum Gegenstand. Die einzelnen Lehrveranstaltungen des Moduls haben folgende Themen zum Inhalt:

Objektorientiertes Programmieren, VU Abstrakte und konkrete Klassen in C++; Klassenhierarchien; Templates; Exception handling; Nützlichkeit der STL für numerische Aufgabenstellungen; Verwaltung und Pflege eigener Programmmodule. oder High performance computing, VU Parallelisierung; Cache aware programming; Performanceanalyse von Programmteilen und deren gezielte Verbesserung durch programmiertechnische, algorithmische und mathematische Änderungen.

Mathematische Vertiefung I, II

Das Modul „Mathematische Vertiefung I, II“: Es hat die Vertiefung in einem mathematischen Schwerpunktsgebiet aus der Liste der zulässigen Vertiefungsfächer zum Gegenstand.

Mathematische Vertiefung I

Das Modul „Mathematische Vertiefung I“ besteht aus Lehrveranstaltungen im Ausmaß von 9 ECTS-Anrechnungspunkten in einem thematisch zusammengehörigen Teilgebiet der reinen oder angewandten Mathematik (im Folgenden „Vertiefungsfach“). Es werden die folgenden zulässigen Vertiefungsfächer festgelegt: Analysis und Geometrie Algebra und Zahlentheorie Angewandte und numerische Mathematik Stochastik, Statistik und Wahrscheinlichkeit.

Mathematische Vertiefung II

Der Modul „Mathematische Vertiefung II“ besteht aus Lehrveranstaltungen im Ausmaß von 12 ECTS-Anrechnungspunkten aus dem im Modul „Mathematische Vertiefung I“ gewählten Vertiefungsfach.

Seminare

Das Modul „Seminare“: Es ist thematisch mit dem Modul „Mathematische Vertiefung“ verknüpft und hat das Training in der selbstständigen Bearbeitung komplexer Fragestellungen aus dem Vertiefungsfach zum Gegenstand. Aufbauend auf die Lehrveranstaltungen der Module Mathematische Vertiefung I, II sind 2 Seminare im Ausmaß von je 4 ECTS-Anrechnungspunkten zu belegen. Die Beiträge der Teilnehmerinnen / der Teilnehmer werden im Seminar in einem Vortrag präsentiert und schriftlich in einer Seminararbeit dargestellt. Die Seminare müssen im Titel einem der Vertiefungsfächer zugeordnet sein.

Allgemeines zum Schluss

Berufsbild

Durch den Erwerb der genannten Fähigkeiten und Kenntnisse sind an der Universität Graz ausgebildete Mathematikerinnen / Mathematiker geeignet, in einer Vielzahl von Berufen erfolgreich eingesetzt zu werden. Dies gilt für Tätigkeiten in der industriellen Forschung und Entwicklung, in der Analyse und Planung komplexer Vorgänge, in der akademischen oder anwendungsorientierten Forschung im naturwissenschaftlichen, technischen oder wirtschaftswissenschaftlichen Bereich und im Banken- und Versicherungswesen.

Empfohlene Semesterplanung

(folgt)

Numerische Mathematik und Modellierung

Kurzbeschreibung, Voraussetzung, Grundstruktur

Das Studienangebot im Masterstudium Numerische Mathematik und Modellierung an der Karl-Franzens-Universität Graz soll Studierenden Kenntnisse und Fähigkeiten im Bereich Mathematik und verwandten Gebieten vermitteln, die eine geeignete Berufsvorbereitung für den Beruf einer Mathema-tikerin / eines Mathematikers in der Wirtschaft und eine Basis für eine wissenschaftlich orientierte Tä-tigkeit in der anwendungsorientierten und akademischen Forschung darstellt. Zu den dafür erforderli-chen Fähigkeiten und Kenntnissen zählen unter anderem: •Sicherer Umgang mit der mathematischen Sprache. Erkennen und Verarbeiten komple-xer Strukturen. Die Fähigkeit zur exakten Argumentation und zum Durchdringen komplexer Sachverhalte soll durch das Studium trainiert werden. •Problemlösungsfähigkeit. Der kreative und effiziente Umgang mit Problemlösungsstrategien soll durch das Studium vermittelt werden. •Mathematische Modellierung. Die Absolventinnen / Die Absolventen sollen in der Lage sein, Probleme aus nichtmathematischen Bereichen in eine mathematische Formulierung zu brin-gen, als solche zu bearbeiten um dadurch konkrete Fragestellungen zu beantworten. Der Be-reich der mathematischen Modellierung spielt aufgrund des Bedarfs der Gesellschaft an Ex-pertinnen / Experten in diesem Bereich eine zentrale Rolle im Curriculum. Zur konkreten Berufsvorbereitung durch das Studium gehören das Training in der Präsentation kom-plexer Inhalte und in der eigenständigen Projektbearbeitung, die Verbesserung der Kommunikations-fähigkeit mit Kolleginnen / Kollegen außerhalb des Faches, die effiziente Verwendung von Fachlitera-tur und der effektive Computereinsatz.

Masterstudium Durch das Masterstudium sollen folgende Ausbildungsziele erreicht und als Qualifikationsprofil den Absolventinnen / den Absolventen mitgegeben werden: •Verbreiterung, Vertiefung und Schärfung der mathematischen Methoden und Werkzeuge •Erlernen einer effektiven wissenschaftlichen Arbeitsweise •Vertiefte Ausbildung in einem Spezialgebiet der reinen oder angewandten Mathematik mit dem Ziel des Heranführens der Studierenden an ein wissenschaftliches Niveau auf dem ak-tuell relevante Forschungsarbeit im Spezialgebiet möglich wird. Die Masterstudien dienen ebenso der Vorbereitung auf eine eigenständige wissenschaftliche Arbeit im Rahmen eines Doktoratsstudiums.


Masterstudium Numerische Mathematik und Modellierung Spezifische Ausbildungsziele für das Masterstudium Numerische Mathematik und Modellierung sind: •die Erweiterung, Vertiefung und Schärfung der Kenntnisse in der mathematischen Modellie-rung und in numerischen Methoden, •das weitere Training der Fähigkeit nichtmathematisch formulierte Probleme einer mathemati-schen Behandlung und numerischen Lösung zuzuführen, •die Erweiterung der Kenntnisse in nicht-mathematischen Fachgebieten, in denen mathemati-sche Modellierung ein wichtiges Werkzeug darstellt (Industrie, Wirtschaft, Ökologie, Life Sciences), •das Training im Gebrauch des Computers als Werkzeug, •die Fähigkeit Projekte zu definieren, zu planen und zu bearbeiten.

Da das Bachelorstudium in Graz relativ breit gefasst ist, gibt es keine großen speziellen Voraussetzungen (außer einem abgeschlossenem Mathe-Bachelor), die es zu erfüllen gilt. Man sollte Grundvorlesungen aus Numerik und Optimierung und Funktionalanalysis besucht haben. Weiters sollte man zumindest eine Programmiersprache beherrschen.

Beschreibung der Fächer/Lehrveranstaltungen

Pflichfächer

  • Numerische Mathematik II VO+PS (4 + 2 SWS)

Aufbauend auf Numerische Mathematik I. Anfangswertprobleme für gewöhnliche Differenzialgleichungen; Randwertprobleme; Diskretisierungsverfahren;

  • Numerik partieller Differentialgleichungen VO + PS (3 + 1 SWS)

Finite Elemente; Numerik parabolischer Differenzialgleichungen; Numerik hyperbolischer Differenzial-gleichungen; multigrid Methoden.

  • Funktionalanalysis VO (3 SWS)

Distributionen; Sobolev Räume und deren Dualräume; Einbettungssätze; Spurensätze; Sesqui-linearformen und durch diese definierte Operatoren; Satz von Lax-Milgram; Aspekte der nichtlinearen Funktionalanalysis.

  • Objektorientiertes Programmieren (2 SWS)

Abstrakte und konkrete Klassen in C++; Klassenhierarchien; Templates; Exception handling; Nützlich-keit der STL für numerische Aufgabenstellungen; Verwaltung und Pflege eigener Programmmodule.

  • High performance computign (2 SWS)

Parallelisierung; Cache aware programming; Performanceanalyse von Programmteilen und deren gezielte Verbesserung durch programmiertechnische, algorithmische und mathematische Änderungen

  • Optimierung II VO + PS (4 + 2 SWS)

Theorie der linearen Optimierung; Innere-Punkt-Methode; Tangentialkegel, Kegel der Abstiegs-richtungen und Regularitätsbedingungen; Karush-Kuhn-Tucker Bedingungen; Quadratische Optimierung, Aktivemengen-Strategie; Allgemeine Optimierungsprobleme; Straf- und Barrieremethoden; Quasi-Newtonverfahren; Multiplikatormethode; Ausblicke auf NLP Methoden in der optimalen Steuerung von Differenzialgleichungen.

  • Partielle Differentialgleichungen VO + PS (4 + 2 SWS)

Energiemethoden; Charakteristiken; schwache Formulierung elliptischer Gleichungen; Randbedingungen; innere und Randregularität; lineare Evolutionsgleichungen; Erhaltungsgesetze.

  • Mathematische Modellierung VO + PS (4 + 2 SWS)

Kompartment-Modelle, Zellenmodelle, Modelle mit partiellen Differenzialgleichungen, Stochastische Modelle, Monte Carlo Simulation, Simulationsmodelle; qualitative Eigenschaften mathematischer Mo-delle; Parameter-Identifikation und Sensitivitäts-Analyse; Validierung und Modell-Pflege.

Anwendungsfach
Insgesamt müssen mindestens 14,5 ECTS im Modul "Anwendungsfach" absolviert werden. Mindestens 4 ECTS muss man in Form von Seminaren absolvieren. Es gibt folgende zulässige Anwendungsfächer:

  • Mathematisch orientierte Wirtschaftswissenschaften
  • Physikalische Chemie
  • Medizintechnik oder Phyisiologie

Andere Anwendungsfächer sind genehmigungspflichtig.

Mathematische Vertiefung
Hier müssen Lehrveranstaltungen im Ausmaß von 13 ECTS absolviert werden. Auch hier müssen midestens 4 ECTS in Form von Seminaren absolviert werden. Es gibt folgende zulässige Vertiefungsfächer

  • Analysis und Geometrie
  • Algebra und Zahlentheorie
  • Angewandte und numerische Mathematik
  • Stochastik, Statistik und Wahrscheinlichkeit

Andere Vertiefungsfächer sind genehmigungspflichtig

Weiters müssen noch Lehrveranstaltungen im Ausmaß von 12 ECTS im Rahmen der "freien Wahlfächer" absolvierte werden. Diese Lehrveranstaltungen kann man sich frei aus dem Angebot aller in- und ausländischen Unis auswählen.

Allgemeines zum Schluss

Berufsbild

Durch den Erwerb der genannten Fähigkeiten und Kenntnisse sind an der Universität Graz ausgebildete Mathematikerinnen / Mathematiker geeignet, in einer Vielzahl von Berufen erfolgreich eingesetzt zu werden. Dies gilt für Tätigkeiten in der industriellen Forschung und Entwicklung, in der Analyse und Planung komplexer Vorgänge, in der akademischen oder anwendungsorientierten Forschung im na-turwissenschaftlichen, technischen oder wirtschaftswissenschaftlichen Bereich und im Banken- und Versicherungswesen.

Es sei hier noch angemerkt, dass die AbsolventInnen sehr gut für eine weitere akademische Laufbahn im Bereich der Numerischen Mathematik / Optimierung sehr gut geeignet sind.

Empfohlene Semesterplanung

Die hier angegebenen Semseterplanung ist nicht verpflichtend. Da es im Normalfall keine Voraussetzungen für die einzelnen (mathematischen) Lehrveranstaltungen gibt, kann von der Planung durchaus abgewichen werden, ist aber nicht immer sinnvoll.

1. Semester

  • Numerische Mathematik II VO + PS
  • Funktionalanalysis
  • LVs aus dem Anwendungsfach
  • Objektorientiertes Programmieren

2. Semester

  • Optimierung II VO+PS
  • Partielle Differentialgleichungen VO+PS
  • Mathematische Modellierung VO+PS

3. Semester

  • Numerik partieller Differentialgleichungen VO+PS
  • High performance computing
  • LVs aus Mathematischer Vertiefung
  • Seminar im Anwendungsfach

4. Semester

  • Mathematisches Seminar
  • Masterarbeit
  • Masterprüfung

Mathematische Computerwissenschaften

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