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Relations et identités

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Sommaire

Relations et identités trigonométriques

Introduction

Une identité trigonométrique est une relation comportant des fonctions trigonométriques vérifiée pour toutes les valeurs de l'angle pour lesquelles ces fonctions sont définies.

Par exemple,

\cos \theta csc \theta = \cot \theta ou \cos \theta tan \theta = \sin \theta
.

On vérifie une identité en transformant l'un des membres (en général le plus compliqué) dans l'autre. Pour ce faire, il faut :

  • Connaître les relations fondamentales (voir plus bas),
  • Savoir factoriser, calculer avec des fractions rationnelles,
  • De l'exercice.


Relations fondamentales

Ce sont des relations qu'il faut connaître par coeur. Pour les retenir, on se rappellera de leur signification géométrique, détaillée dans les exercices 1 à 4.


Relations aux inverses Relations aux quotients Relations de Pythagore
\sec \theta = 1 / \cos \theta
\tan \theta = \sin \theta / \cos \theta
\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta = 1
\csc \theta = 1 / \sin \theta
\cot \theta = \cos \theta / \sin \theta
1 + \tan ^2 \theta = \sec ^2 \theta
\cot \theta = 1 / \tan \theta
 
1 + \tan ^2 \theta = \sec ^2 \theta


Les relations aux inverses ne sont autres qu'une définition de la sécante, cosécante et cotangente. On pourrait, d'ailleurs, se passer des sécantes et cosécantes, si ce n'est que la formule 1+\tan ^2 \theta = \sec ^2 \theta, qui intervient souvent pour le calcul des dérivées, est plus facile à retenir que son homologue 1+\tan ^2 \theta = \frac 1 {\cos ^2 \theta}.

Les relations aux quotient résultent du théorème de Talès.

Et celles de la troisième colonne résultent du théorème de Pythagore dans le cercle trigonométrique ou dans le cercle des lignes trigonométriques.

On remarquera que \cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta = 1 peut aussi s'écrire \cos ^2 \theta = 1-\sin ^2 \theta ou encore \sin ^2 \theta = 1-\cos ^2 \theta. Chacune de ces trois formes est aussi utile que les deux autres.

Calculs usuels

Le calcul avec les expressions trigonométriques est une application directe du calcul algébrique. On applique le développement, la réduction, la factorisation, la réduction au même dénominateur et la simplification comme avec les fraction rationnelles ordinaire. On est toutefois en droit d'utiliser, à n'importe quel moment, toutes identité fondamentale qui peut simplifier le calcul.


Il est souvent utile d'éliminer toutes les \sec \theta, \csc \theta et \cot \theta en les remplaçant par leur inverses. Par exemple :

  • \cos \theta \csc \theta = \cos \theta \frac 1 {\sin \theta} = \frac {\cos \theta} {\sin \theta} = \cot \theta.


On peut aussi éliminer \tan \theta et la remplaçant par \frac {\sin \theta} {\cos \theta}. Par exemple :

  • \cos \theta \tan \theta = \cos \theta \frac {\sin \theta} {\cos \theta} = \sin \theta.
  • \cot \theta \sin ^2 \theta = \frac {\cos \theta} {\sin \theta} \sin ^2 \theta = \sin \theta \cos \theta.


On pourrait aussi éliminer \cos \theta ou \sin \theta en utilisant \cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta = 1. Mais il est souvent préférable de conserver la symétrie en \cos \theta et \sin \theta lorsqu'elle existe. Par exemple :

  • \sin ^3 \theta + \cos ^2 \theta \sin \theta = ( \cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta ) \sin \theta = 1 \sin \theta = \sin \theta
  • \frac {\cos ^2 \theta} {1-\sin \theta} = \frac {1-\sin ^2 \theta} {1-\sin \theta} = \frac {(1-\sin \theta) (1+\sin \theta)} {1-\sin \theta} = 1+\sin \theta.


Mais pas toujours:

  • \sin ^2 \theta - \cos ^2 \theta = (1 - \cos ^2) - \cos ^2 \theta = 1 - 2 \cos ^2 \theta
  • \sin ^2 \theta - \cos ^2 \theta = \sin ^2 \theta - (1 - \sin ^2 \theta ) = 2 \sin ^2 \theta - 1

Exercices

Relations fondamentales

1. Démontrer, sur le cercle trigonométrique et le cercle des lignes trigonométriques, les relations aux inverses
\sec \theta = \frac 1 {\cos \theta} et \csc \theta = \frac 1 {\sin \theta}.


2. Démontrer, sur le cercle trigonométrique et sur le cercle des lignes trigonométriques, les relations aux quotients

\tan \theta = \frac {\sin \theta} {\cos \theta} et \cot \theta = \frac {\cos \theta} {\sin \theta}.
En déduire algébriquement la troisième relation aux inverses \cot \theta = \frac 1 {\tan \theta}.


3. Démontrer, sur le cercle trigonométrique, la relation de Pythagore
\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta = 1.

En divisant les deux membres par \cos ^2 \theta, resp. par \cos ^2 \theta, en déduire les autres relations de Pythagore :

1+\tan ^2 \theta = \frac 1 {\cos ^2 \theta}, resp. 1+\cot ^2 \theta = \frac 1 {\sin ^2 \theta}.


4. Démontrer, sur le cercle des lignes trigonométrique, les relations de Pythagore :

1+\tan ^2 \theta = \frac 1 {\cos ^2 \theta} et 1+\cot ^2 \theta = \frac 1 {\sin ^2 \theta}.

Expression des fonctions trigonométriques connaissant l'une d'elle

5. Calculer \sin \theta, \tan \theta, puis \cot \theta, \sec \theta et \csc \theta, en supposant que \cos \theta = 4/5.


6. Calculer les lignes trigonométriques de \theta, En supposant que \tan \theta = 2.


7. Calculer les autres lignes trigonométriques de \theta, En supposant que \sin \theta = 2x/3.


8. Exprimer les lignes trigonométriques de \theta en fonction de x = \cos \theta.


9. Exprimer les lignes trigonométriques de t en fonction de \tan t.

Développer et réduire

10. (\sin \theta-\cos \theta)(\sin \theta-\cos \theta).

Trois formes du résultat sont possibles : en fonction de \sin \theta seul, de \cos \theta seul et des deux ensembles.

11. (\cos x - \sin x)^2.

12. (\cos x-\sin y)(\cos x-\sin y).

13. (\tan^2 t-\cot t)^2.

14. 1+\tan t, en fonction de \sin t et \cos t.

15. 1-\tan t+2\sec ^2 t.

Factoriser

16. \sin ^2 \theta-\sin \theta \cos \theta.

17.\sin ^2 \theta-\sin ^2 \theta \cos ^2 \theta.

18. \sin ^2 \theta+\sin \theta \sec \theta -6\sec ^6 \theta.

19. \sin ^3 \theta \cos ^2 \theta -2 \sin ^2 \theta \cos ^3 \theta +\sin \theta \cos ^2 \theta.

20. \sin ^4 \theta - \cos ^4 \theta .

Simplifier

21. \sec \theta - \sec \theta \sin ^2 \theta ;

22. \sin \theta \sec \theta \cot \theta ;

23. \sin ^2 \theta (1+\cot ^2 \theta) ;

24. \sin ^2 \theta \sec ^2 \theta -\sec ^2 \theta ;

25. (\sin \theta +\cos ^2 \theta)^2 + (\sin \theta -\cos ^2 \theta)^2 ;

26. \tan ^2 \theta \cos ^2 \theta + \cot ^2 \theta \sin ^2 \theta).

27. \tan \theta + \frac {\cos \theta} {1+\sin \theta} ;

Vérifier les identités

28. \sec ^2 \theta \csc ^2 \theta = \sec ^2 \theta + \csc ^2 /theta ;

29. \sec ^4 \theta - \sec ^2 \theta = \tan ^4 \theta + \tan ^2 \theta  ;

30. 2 \csc x = \frac {\sin x} {1+\cos x} + \frac {1+ \cos x} {\sin x} ;

31. \frac {1-\sin x} {\cos x} = \frac {\cos x} {1+\sin x} ;

32. \frac {\sec t - \csc t}{\sec t + \csc t} = \frac {\tan t -1}{\tan t +1} ;

33. \frac {\tan x - \sin x}{\sin ^3 x} = \frac {\sec x}{1+\cos x} ;

34. \frac {\cos u \cot u - \sin u \tan u}{\csc u + \sec u} = 1+\sin u +\cos u ;

35. \frac {\sin \theta - \cos \theta +1}{\sin \theta + \cos \theta -1} = \frac {\sin \theta +1}{\cos \theta } ;

36. \frac {\tan \theta - \sec \theta - 1} {\tan \theta + \sec \theta + 1} = \tan \theta + \sec \theta.

Indication : exprimer l'expression en fonction de \sin \theta et \cos \theta pour la ramener à l'identité précédente;


Exercices supplémentaires

  1. Calculer les lignes trigonométriques de \theta</theta>, sachant que <math>\sin \theta = 2/3.
  2. Calculer les lignes trigonométriques de \theta</theta>, sachant que <math>\cos \theta = -5/6.
  3. Calculer les lignes trigonométriques de \theta</theta>, sachant que <math>\tan \theta = 5/4.
  4. Calculer les lignes trigonométriques de \theta</theta>, sachant que <math>\cot \theta = - \sqrt {3}.
  5. Calculer \frac {\sin \theta + \cos \theta - \tan \theta}{\sec \theta + \csc \theta - \cot \theta}, sachant que \tan \theta = -1/2.

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