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Teorema del punto fijo de Banach

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Conceptos preliminares

Sea f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} una función.

  • Diremos que f es contractante si existe un L \in (0,1) tal que para todo x,y \in \mathbb{R},  |f(x) - f(y)| \leq L \cdot |x-y|
  • Diremos que \bar{x} \in \mathbb{R} es un punto fijo de f ssi f(\bar{x})=\bar{x}

Enunciado

Sea f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} una función contractante. Entonces f posee un único punto fijo.

Ruta propuesta para la demostración

Para demostrar la existencia del punto fijo:

  1. Tomemos un x_0 \in \mathbb{R} cualquiera, y definamos la sucesión ( x_n ) mediante la recurrencia x_{n+1} = f(x_n)
  2. Demuestre que para todo n\geq1, |x_{n+1} - x_n| \leq L\cdot|x_n - x_{n-1}|
  3. Usando desigualdad triangular, concluya que para todo n\geq1 y q\geq1 se tiene que |x_{n+q} - x_n| \leq L^q\cdot|x_n - x_{n-1}|
  4. Concluya que para todo n\geq1 y q\geq1 se tiene que |x_{n+q} - x_n| \leq L^{q+n-1} \cdot|x_1 - x_0|
  5. Utilizando el hecho que L \in (0,1) y que |x_1-x_0| es un valor fijo, muestre que la sucesión ( x_n ) es de Cauchy
  6. Concluya que ( x_n ) converge, y llamemos  \bar{x} a su límite.
  7. A partir de la definición de función contractante, demuestre que f( x_n ) \longrightarrow f(\bar{x}) cuando n \rightarrow \infty
  8. Concluya que \bar{x} es un punto fijo de f

Para demostrar la unicidad del punto fijo:

  1. Suponga que \bar{x}_1,\bar{x}_2 son dos puntos fijos de f. Evalúe la función en cada uno de ellos y utilizando la definición de ser punto fijo, concluya que son iguales

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