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Teorema del punto fijo de Brouwer

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Conceptos preliminares

Sea A un conjunto no vacío, y f:A \to A una función.

  • Diremos que \bar{x} \in A es un punto fijo de f ssi f(\bar{x})=\bar{x}

Enunciado

Sea a,b números reales con a<b, y sea f:\lbrack a,b\rbrack \to \lbrack a,b\rbrack una función continua. Entonces f posee al menos un punto fijo.

Ruta propuesta para la demostración

  • Considere la función auxiliar g:\lbrack a,b\rbrack \to \mathbb{R} dada por  g(x) = f(x)-x . Argumente por qué g es una función continua
  • Muestre que g(a) \geq 0 y que g(b) \leq 0
  • Separe ahora por casos
    • Si g(a)=0 o g(b)=0, demuestre que el teorema es cierto
    • Por el contrario, si g(a) \neq 0 y g(b) \neq 0, argumente por qué g(a) y g(b) tienen signos opuestos. Concluya utilizando algún teorema para funciones continuas

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