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Teorema del valor intermedio

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Enunciado

Sean a,b números reales tales que a<b, y sea f:\lbrack a,b\rbrack \to \mathbb{R} una función continua que cumple f(a)>0 y f(b)<0. Entonces existe un z\in \lbrack a,b\rbrack tal que f(z)=0.

Ruta propuesta para la demostración

  • Considere el siguiente método iterativo:
  1. Llamemos a_0=a, b_0=b
  2. Sea k=0
  3. Sea c_k = \frac{1}{2}(a_k + b_k) el punto medio entre a_k y b_k
      • Si f(c_k)=0, entonces terminar y retornar z=c_k
      • Si f(c_k)>0, entonces volver al paso (3) con a_{k+1}=c_k, b_{k+1}=b_k y aumentando k en 1
      • Si f(c_k)<0, entonces volver al paso (3) con a_{k+1}=a_k, b_{k+1}=c_k y aumentando k en 1


  • Observe que si el método termina en una cantidad finita de pasos, entonces para algún k se tiene que f(c_k)=0 y por lo tanto el teorema se cumple. Supondremos, entonces, que el método no termina en una cantidad finita de pasos, generando así dos sucesiones, ( a_k ) y ( b_k )
  • Usando inducción, demuestre que para todo k\geq0, a_k < b_k
  • Concluya que para todo k\geq0, a_k < c_k < b_k
  • Notando que a_{k+1} vale o bien a_k o bien c_k dependiendo del caso, muestre que ( a_k ) es una sucesión creciente. Análogamente, muestre que ( b_k ) es decreciente
  • Concluya que ambas sucesiones, ( a_k ) y ( b_k ) son convergentes
  • Considere la sucesión ( d_k ) dada por d_k = |b_k-a_k|. Usando inducción y apoyándose en el método iterativo, demuestre que d_{k+1} = \frac{1}{2} d_k para todo k\geq0
  • Concluya que ( d_k ) converge a cero, y que por lo tanto los límites de ( a_k ) y ( b_k ) coinciden. Llamemos z a este límite
  • Usando inducción, demuestre que para todo k\geq0, f(a_k)>0 y f(b_k)<0
  • Concluya que f(z)=0

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