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Unicaen/Equations différentielles(Résumé)

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Comme le dit son titre, cette page est un résumé pense-bête sur les équations différentielles.

Equations différentielles du premier ordre

Une équation différentielle du premier ordre est une équation de la forme {\text{d}u'(x)\over\text{d}x}+a(x)u(x)=f(x) avec u(\alpha)=\beta

et a(x)\neq0\forall x\in J\subset\mathbb{R} et a(x) et f(x) continues.

Sous les hypothèses ci-dessus, l'équation différentielle admet une unique solution.

Elle se résout comme suit :

On commence par résoudre l'équation homogène associée, à savoir : {\text{d}u'(x)\over\text{d}x}+a(x)u(x)=0

En supposant qu'on se trouve en un xu(x)\neq0, on peut diviser par u(x), d'où :

{\text{d}u'(x)\over u(x)}=-a(x)\text{d}x

On peut donc intégrer : \ln|u(x)|=-A(x)+\kappa, en posant A(x)=\int_0^x a(x)\text{d}x.

On obtient, en passant à l'exponentielle : u(x)=\lambda e^{-A(x)}, où \lambda=e^\kappa.

Pour résoudre l'équation différentielle générale, on applique la méthode de la variation de la constante. On pose \lambda=\lambda(x), et on dérive la solution u(x) trouvée précédemment :

u'(x)=\lambda'(x) e^{-A(x)}-\lambda(x)a(x)e^{-A(x)}=\lambda'(x) e^{-A(x)}-a(x)u(x)

En reportant dans l'équation avec second membre, cela amène :

\lambda'(x) e^{-A(x)}=f(x), soit \lambda'(x)=f(x)e^{A(x)}

d'où \lambda(x)=\int_0^x f(\xi)e^{A(\xi)}\text{d}\xi.

On obtient donc au final :

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