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Variations d'une fonction

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Connaître les variations ou le sens de variation d’une fonction f : x \longmapsto f(x), c’est savoir si lorsqu’on fait augmenter x, f(x) diminue ou augmente.


Définitions

Pour un certain intervalle :

  • si lorsqu’on fait augmenter x dans cet intervalle, f(x) augmente, la fonction f est dite croissante sur cet intervalle ;
  • si lorsqu’on fait augmenter x dans cet intervalle, f(x) diminue, la fonction f est dite décroissante sur cet intervalle.


Lorsqu’une fonction est croissante ou décroissante sur un intervalle, on dit qu’elle est monotone sur cet intervalle.

Si une fonction n’est pas croissante et n’est pas décroissante sur un intervalle, on dit pour cet intervalle que la fonction n’est pas monotone ou encore qu’elle n’est ni croissante, ni décroissante.

Conséquence directe

  • une fonction f est croissante si et seulement si elle conserve le sens des inégalités sur cet intervalle. On écrit alors : pour tous a, b \in \mathbb{R} tels que a < b : f(a) \leq f(b). On dit aussi qu’elle conserve l’ordre sur cet intervalle.
  • à l’inverse, une fonction f est décroissante sur un intervalle si et seulement si elle change l’ordre sur cet intervalle. On écrit : pour tous a, b \in \mathbb{R} tels que a < b : f(a) \geq f(b).


Si on n’a pas f(a) \leq f(b) ou f(a) \geq f(b) sur tout l’intervalle, alors la fonction est non monotone.


Note 
Dans la formule (f croissante), on a écrit a < b et f(a) \leq f(b) ce qui signifie que si f est croissante, lorsque x augmente, f(x) peut augmenter ou rester stable. Si on veut contraindre f(x) d’augmenter sans jamais s’arrêter, on doit noter f(a) < f(b). On dit alors que la fonction f est strictement croissante. Même chose pour la différence entre décroissante (f(a) \geq f(b)) et scrictement décroissante (f(a) > f(b)).

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